Докажите формулу 1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6 которую вывел архимед для решения некоторых за

[Математик]

Требуется поддержка в решении задачи 9 класса: - докажите формулу 1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6 которую вывел архимед для решения некоторых задач по геометрии и механики.

 

[SciKid]

Докажем, что при n = 1, равенство справедливо: 1^2 = 1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1)/6 ; 1 = 1 * 2 * 3/6, 1 = 1, равенство справедливо.



Допустим, что при n = к, равенство справедливо: 1^2 + 2^2 + ... + к^2 = к * (к + 1) * (2 * к + 1)/6. (1)

Докажем, что при n = к + 1 равенство тоже справедливо, то есть: 1^2 + 2^2 + ... + к^2 + (к + 1)^2 = (1^2 + 2^2 + ... + к^2) + (к + 1)^2;

Заменим выражение в скобках (...) выражением , получим:

к * (к + 1) * (2 * к + 1)/6 + (к + 1)^2 = (к + 1 ) * [к * (2к + 1)/6 + (к + 1)] = (к + 1) * [к * (2 * к + 1) + 6 * (к + 1)]/6 = (к + 1) * (2к² + 7к + 6)/6 = (к + 1)(к + 2)(2к + 3)/6