Чтобы определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y = x^4 - 6x^2 + 4, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти первую производную функции y и определить критические точки. 2. Найти вторую производную функции y для анализа выпуклости и вогнутости. 3. Определить интервалы, на которых функция выпуклая или вогнутая, и точки перегиба. 1. Первая производная: y' = 4x^3 - 12x. Критические точки находятся при y' = 0: 4x^3 - 12x = 0 x(4x^2 - 12) = 0 x = 0 или x^2 = 3 (x = ±√3). Таким образом, критические точки: x = 0, x = √3, x = -√3. 2. Вторая производная: y'' = 12x^2 - 12. Теперь найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: 12x^2 - 12 = 0 x^2 = 1 (x = ±1). Точки перегиба: x = 1 и x = -1. Теперь определим интервалы для анализа: - Интервал (-∞, -√3): выбираем x = -2, y'' = 12(-2)^2 - 12 = 36 > 0 (выпуклая). - Интервал (-√3, -1): выбираем x = -1.5, y'' = 12(-1.5)^2 - 12 = 18 > 0 (выпуклая). - Интервал (-1, 1): выбираем x = 0, y'' = 12(0)^2 - 12 = -12 < 0 (вогнутая). - Интервал (1, √3): выбираем x = 2, y'' = 12(2)^2 - 12 = 36 > 0 (выпуклая). - Интервал (√3, ∞): выбираем x = 4, y'' = 12(4)^2 - 12 = 168 > 0 (выпуклая). Подводя итоги: - Интервалы выпуклости: (-∞, -√3), (-√3, -1), (1, √3), (√3, ∞). - Интервал вогнутости: (-1, 1). - Точки перегиба: x = -1 и x = 1.
