Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости функции y = x^4 - 6x^2 + 4, а также точки перегиба, нужно изучить её вторую производную. 1. Сначала вычислим первую производную функции: y' = 4x^3 - 12x. 2. Затем найдем вторую производную: y'' = 12x^2 - 12. 3. Установим, когда вторая производная равна нулю для нахождения точек перегиба: 12x^2 - 12 = 0. x^2 - 1 = 0. x^2 = 1. x = ±1. Теперь найдем знак второй производной на интервалах, которые определяются точками перегиба. У нас есть критические точки x = -1 и x = 1, делящие числовую прямую на три интервала: (-∞, -1), (-1, 1) и (1, ∞). 4. Проверим знак производной на каждом из этих интервалов: - Для интервала (-∞, -1), например, возьмем x = -2: y''(-2) = 12(-2)^2 - 12 = 48 - 12 = 36 > 0. (Функция выпуклая) - Для интервала (-1, 1), например, возьмем x = 0: y''(0) = 12(0)^2 - 12 = -12 < 0. (Функция вогнутая) - Для интервала (1, ∞), например, возьмем x = 2: y''(2) = 12(2)^2 - 12 = 48 - 12 = 36 > 0. (Функция выпуклая) Итак, у нас есть: - Интервал выпуклости: (-∞, -1) и (1, ∞). - Интервал вогнутости: (-1, 1). 5. Точки перегиба: x = -1 и x = 1. Итак, подводя итог, можно сказать: Интервалы выпуклости: (-∞, -1) и (1, ∞). Интервал вогнутости: (-1, 1). Точки перегиба: x = -1 и x = 1.
